J'ai trouvé la réponse assez facilement en cherchant de la jurisprudence.

https://www.europe1.fr/societe/Auto-ecole-sanctionne-pour-son-eleve-359936.amp

Résumé : c'est déjà arrivé, personne ne voulait payer, et suite à une décision du tribunal c'est le moniteur qui a dû payer.

~~On y apprend également qu'un article du code de la route est prévu pour limiter la casse : les moniteurs d'autoécoles doivent payer mais ne peuvent pas perdre de points sur leur permis de conduire.~~

Je n'ai ps trouvé l'article concernant la non perte de points. On trouve plutôt l'information inverse. Par exemple sur ce forum de moniteurs d'auto écoles : https://www.galeredemoniteur.net/t4042-enseignant-de-la-conduite-et-perte-de-points

Pour les points, il me semble que ma monitrice m'avait dit que c'était son permis qui était pris en compte.

Mais je ne sais pas si il y a des exceptions pour les moniteurs ou si les moniteurs n'ont pas un permis spécial. Parce que j'ai l'impression que douze points pourraient partir très vite.

Pour l'argent, aucune idée, j'imagine que l'auto-école peut le prendre en charge et soit l'ajouter à la facture de l'élève, soit avoir une assurance pour ça.